Hilbertsche Räume mit Kernfunktion, Fachbücher von Herbert Meschkowski

Die Hilbertschen Räume mit reproduzierendem Kern gehören zu jenen mathematischen Strukturen, die sich in vielen Gebieten der Analysis anwenden lassen. Manche Klassen von analytischen Funktionen (von einer oder mehreren komplexen Variablen), aber auch gewisse Mengen von Lösungen partieller Differentialgleichungen erweisen sich als Hilbertsche Funktionenräume, die einen reproduzierenden Kern besitzen. Bald nach Erscheinen der grundlegenden Arbeiten von Bergman und Bochner im Jahre 1922 wurde klar, dass die Einführung von Kernfunktionen besonders für die Theorie der konformen Abbildung fruchtbar werden musste. Während in der von Koebe und seinen Schülern begründeten Theorie viele Sätze den Charakter reiner Existenzaussagen hatten, gelang es mit Hilfe der Kernfunktionen, die klassischen Abbildungsfunktionen explizit darzustellen und damit ihre effektive Berechnung zu erleichtern. In früheren Darstellungen über die Kernfunktionen hat man meist die Bedeutung der neuen Betrachtungsweise für die einzelnen Disziplinen getrennt herausgestellt. Bei einer solchen übergreifenden Theorie ist es aber auch möglich, von den allgemeinen Eigenschaften Hilbertscher Funktionenräume mit Kernfunktion auszugehen. Besonders die umfassende Arbeit von Aronszajn hat eine solche Darstellungsweise nahegelegt. Sie macht es möglich, Wiederholungen zu vermeiden und allgemeine Eigenschaften der Kernfunktionen als solche herauszustellen. Um diese Schrift auch für Studenten der mittleren Semester lesbar zu machen, beginnen wir mit einem Kapitel über die allgemeinen Hilbertschen Räume. Wir beschränken uns dabei auf den Beweis solcher Sätze, die für die hier behandelte Theorie gebraucht werden.