Grundzüge der Mathematischen Logik, Fachbücher von Heinrich Scholz, Gisbert Hasenjaeger

Prolegomena 1. Die Logik, die in diesem Lehrbuch entwickelt wird, ist bestimmt durch die folgenden Kennzeichen: Sie fusst auf derselben Ontologie wie die von erkennbaren Widersprüchen befreite und in diesem Sinne vertretbare klassische Mathematik. Für diese Ontologie ist charakteristisch die Grundvoraussetzung, dass die Objekte der Mathematik und mit ihnen die mathematischen Bereiche an sich existieren, wie die platonischen Ideen. Mit Bezug auf diesen An-sich-Charakter sprechen wir von einer platonischen Ontologie. Für diese Ontologie existieren die unendlichen Bereiche beliebig hoher Mächtigkeit als fertig vorliegende Objekte in derselben Art wie die durch Aufzählung ihrer Elemente erfassbaren endlichen Mengen und in gleichem Range mit ihnen. Die weittragenden Folgen dieser Auffassung sind in zwei Hauptpunkten konzentriert. Erster Hauptpunkt: die Beurteilung der Potenzmengen. Mit den abzählbaren Mengen existieren, genauso wie im endlichen Falle, auch ihre Potenzmengen, mit dem ihnen zukommenden Charakter der Überabzählbarkeit. Das Überabzählbare steht also gleichberechtigt neben dem Abzählbaren. Zweiter Hauptpunkt: der für den Platonismus charakteristische Gehalt des ausgeschlossenen Dritten. Es genügt hier, die mengentheoretische Formulierung dieses Prinzips ins Auge zu fassen. Sie besagt, dass eine für die Elemente einer beliebigen Menge, also mit Einschluss der unendlichen Mengen von einer beliebigen Mächtigkeit erklärte Eigenschaft allen Elementen der Menge zukommt oder es gibt (wenigstens) ein Mengenelement, dem sie nicht zukommt, unabhängig davon, ob ein solches Element angegeben werden kann oder nicht. Ein Anwendungsfall ist das der elementaren Zahlentheorie angehörige Prinzip der kleinsten Zahl.